در این مقاله به صورت خلاصه در رابطه با تغییرمتغیرهای مثلثاتی در انتگرال ها توضیح داده می شود. برای بسیاری از انتگرال ها تغییر متغیر مثلثاتی می تواند بسیار مفید باشد.
اگر در مبحث انتگرال و تغییر متغیر مثلثاتی اشکال دارید می توانید از مدرسین ریاضی کمک بگیرید. بر روی عبارت معلم خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست مدرسین خانم و آقا و شماره تماس و مشخصات ایشان را مشاهده نمائید.
قبل از اینکه در رابطه با تغییر متغیرهای مثلثاتی توضیح داده شود 3 ویدیوی آموزشی کوتاه ارائه می گردد. به فیلم های زیر نگاه کنید تا در رابطه با تغییر متغیر در انتگرال ها و تغییر متغیر مثلثاتی مطالبی را یاد بگیرید.
فیلم آموزشی ریاضی - مثال تشریحی محاسبه انتگرال با تغییر متغیر مثلثاتی
فیلم نمونه تدریس خصوصی ریاضی - حل مثال تشریحی از مبحث انتگرال گیری و روش تغییر متغیر
ویدیوی آموزش ریاضی - آموزش انتگرال به کمک تغییر متغیر
همانطور که گفته شد برای محاسبه برخی از انتگرال های خاص از تغییر متغیر مثلثاتی استفاده می کنیم. البته اگر می خواهید از تغییر متغیر مثلثاتی استفاده کنید باید بر فرمول ها و روابط مثلثاتی مسلط باشید. مطالعه مقاله مهمترین فرمول های مثلثاتی، جدول روابط مثلثاتی و جمع بندی فرمول های مثلثات در این زمینه مفید است. نکته دیگر اینکه شما باید در رابطه با نحوه محاسبه انتگرال ها مطالب اولیه و پایه ای را بلد باشید. در مقاله چگونه انتگرال را حساب کنیم هم در رابطه با نحوه محاسبه انتگرال ها توضیح داده شده است. برای محاسبه انتگرال ها با استفاده از تغییر متغیر مثلثاتی معمولا 3 حالت کلی وجود دارد که در ادامه به زبان ساده توضیح داده می شود.
1- استفاده از تغییر متغیر سیونس و کسینوس u=asinb یا u=acosb
در بسیاری از انتگرال های رادیکالی این نوع تغییر متغیر خیلی خوب جواب می دهد و باعث می شود رادیکال حذف شود. البته همانطور که گفته شد باید روابط و فرمول های مثلثاتی را هم خوب بلد باشید (حتما دانلود جزوه عالی روابط و فرمولهای مثلثاتی را ببینید نمائید). در ادامه در رابطه با این نوع تغییر متغیر مثلثاتی برای محاسبه انتگرال ها توضیحات بیشتری ارائه شده است.
مطالعه نمائید: نحوه محاسبه انتگرال های رادیکالی با حل مثال
برای اینکه با این نوع تغییر متغیر به خوبی آشنا شوید مثال تشریحی زیر را در نظر بگیرید. در این مثال از تغییر متغیر x=asinb استفاده شده است. برای جاگذاری این عبارت در انتگرال لازم است dx=acosb.db را هم داشته باشیم. به جای x در عبارت زیر رادیکال عبارت جدید بدست آمده را قرار می دهیم و همچنین به جای dx هم باید عبارت مربوطه که بدست آمد را قرار دهیم. همانطور که مشاهده می کنید برای ساده سازی عبارت زیر انتگرال در مخرج کسر از روابط مثلثاتی استفاده شده است. به همین دلیل است که گفته می شود باید بر فرمول ها مثلثات هم مسلط باشید. در نهایت acosb در صورت و مخرج باقی می ماند که با هم ساده شده اند (b منظور همان تتا در شکل زیر است). ملاحظه می کنید که با استفاده از تغییر متغیر مثلثاتی انتگرال به انتگرال ساده تری تبدیل شد که محاسبه آن واقعا دیگر کاری ندارد. اگر از تغییر متغیرها به درستی استفاده کنید باید چنین نتیجه ای بگیرید. در پایان به جای متغیر جدید معادل آن بر حسب متغیر اولیه قرار داده می شود. مثال ارائه شده از این صفحه گرفته شده است.
توضیحات کاملتر در این ویدیو ارائه شده است: فیلم آموزشی - نحوه استفاده از تغییر متغیر مثلثاتی برای محاسبه انتگرال رادیکالی
2- استفاده از تغییر متغیر تانژانت و کتانژانت u=atanb یا u=acotb
حالت های دیگری وجود دارد که تغییر متغیر تانژانت و کتانژانت بهتر جواب می دهد. دقت کنید که شما از هر تغییر متغیری که می خواهید و دوست دارید می توانید برای محاسبه انتگرال ها استفاده نمائید. اما بحث این است که آیا تغییر متغیری که می دهید باعث ساده تر شدن انتگرال می شود یا خیر. توصیه هایی که در این مقاله برای استفاده از تغییر متغیرهای مثلثاتی مختلف در شرایط متفاوت ارائه شده است به این دلیل است که در هر حالت استفاده از یک نوع تغییر متغیر می تواند باعث ساده تر شدن انتگرال گردد. در بسیاری از موارد تغییر متغیرهای مثلثاتی برای محاسبه انتگرال های رادیکالی استفاده می گردد. اگر از تغییر متغیر به درستی استفاده شود اکثرا در کنار استفاده از یک فرمول مثلثاتی باعث می شود انتگرال از بین رفته و محاسبه انتگرال ساده تر گردد. بنابراین حالت هایی که در این مقاله توضیح داده شده است و موارد استفاده هر کدام را به خاطر بسپارید. به توضیحاتی که در ادامه ارائه شده است توجه کنید.
حتما بخوانید: خلاصه جزوه آموزش ریاضی - انتگرال گیری به روش تغییر متغیر و جزء به جزء با حل مثال تشریحی
3- استفاده از تغییر متغیر سکانت u=asecb
علاوه بر حالت هایی که در بالا توضیح داده شد، استفاده از تغییر متغیر سکانت هم می تواند برای ساده سازی بسیاری از انتگرال ها مفید باشد. سکانت در واقع حاصل تقسیم عدد 1 بر کسینوس است. وقتی از این تغییر متغیر مطابق آنچه در ادامه گفته شده است به درستی استفاده می کنید، در این حالت هم اگر رادیکالی در انتگرال وجود دارد معمولا از بین می رود و محاسبه انتگرال بسیار ساده تر خواهد شد.
مطالعه دانلود جزوه بسیار عالی فرمولها و روشهای انتگرال گیری هم مفید است.
منبع: ایران مدرس
