در این مقاله آموزش فرمول و نحوه حل مشتق ضمنی به زبان ساده و با مثال تشریحی ارائه شده است. اگر می خواهید از طریق حل یک مثال به زبان ساده و به راحتی مشتق ضمنی را یاد بگیرید ادامه این مقاله را مطالعه کنید.
در صورتیکه در مبحث مشتق ضمنی اشکال دارید از مدرسین ریاضی کمک بگیرید. بر روی عبارت معلم خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست مدرسین را ببینید. مطالعه جزوه خلاصه آموزش ریاضی - چند قاعده مشتق گیری مهم، مشتق گیری ضمنی و مشتق تابع مرکب هم مفید است.
برای اینکه با مشتق ضمنی، فرمول ها و روابط آن و نحوه حل مسائل، مثال ها و تمرینات مشتق ضمنی آشنا شوید معادله ای که در تصویر زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید. همانطور که در مثال زیر نشان داده شده است در چنین سوالاتی تابع f(x) به صورت صریح و واضح و مشخص بر حسب x داده نشده است. در این سوالات x و y در یک معادله به گونه ای قرار گرفته اند که اکثرا قابل تفکیک از هم نیستند. به عنوان مثال همین الان سعی کنید در رابطه زیر y را بر حسب x بدست آورید. می بینید که عملا ممکن نیست چرا که تابع نمایی و مثلثاتی و ... هم در مثال زیر وجود دارد و نمی توانید از y فاکتور بگیرید و آن را به یک طرف معادله ببرید تا معادله بر حسب x بدست بیاید. در چنین سوالاتی اگر بخواهیم مشتق y بر حسب x را بدست بیاوریم باید از مشتق گیری ضمنی استفاده نمائیم. در ادامه نحوه محاسبه مشتق ضمنی را توضیح خواهیم داد.
مشاهده این ویدیو هم مفید است: نمونه ویدیوی تدریس ریاضی و حسابان - تعریف مشتق و مشتق پذیری
در مثالی که در حال بررسی آن هستیم باید جمله به جمله پیش برویم و مشتق را محاسبه نمائیم. در نظر داشته باشید که اگر دو عبارت در هم ضرب شده باشند باید از مشتق حاصلضرب استفاده کنید (مشتق اولی در دومی به اضافه مشتق دومی در اولی). به عنوان مثال در اولین جمله این سوال که x^2 و y^2 در هم ضرب شده اند باید ابتدا از x^2 مشتق گرفته و در خود y^2 ضرب شود و در ادامه از y^2 مشتق گرفته و در خود x^2 ضرب شود. دقت کنید که از عبارت های شامل x به راحتی و مثل مشتق گیری ساده مشتق بگیرید. اما وقتی از عبارتهای شامل y مشتق می گیرید باید dy/dx را هم اضافه نمائید. به نحوه حل سوال در تصویر زیر دقت کنید. در این سوال توابع مثلثاتی و نمایی هم وجود دارد و باید فرمول های مشتق گیری را به خوبی بلد باشید تا بتوانید از این توابع هم مشتق بگیرید. برای کسب اطلاعات بیشتر دانلود رایگان فرمول های مشتق گیری با فرمت pdf با مثال به زبان ساده را بخوانید. در مشتق گیری ضمنی جمله به جمله پیش می رویم و مشتق را محاسبه می کنیم. در تصویر زیر از سمت راست معادله هم مشتق گرفته شده است و چون در سمت راست معادله عدد ثبت قرار دارد مشتق آن صفر شده است. فقط در نظر داشته باشید که هر جا از عبارتی مشتق گرفتید که بر حسب Y بود علاوه بر مشتق گرفتن از آن، نتیجه بدست آمده را در dy/dx هم ضرب کنید. به نحوه حل سوال در تصویر زیر دقت نمائید.
حتما بخوانید: دانلود کل فرمولهای پایه انتگرال گیری و مشتق گیری
بعد از اینکه در مشتق گیری ضمن جمله به جمله مشتق را محاسبه کردیم باید عبارت هایی که شامل dy/dx نیستند را به سمت راست معادله ببریم (تصویر زیر). در سمت چپ هم از dy/dx فاکتور می گیریم. به تصویر زیر دقت نمائید.
در پایان هر دو طرف معادله را بر ضریب dy/dx تقسیم می کنیم (تصویر پایین را ببینید). به این ترتیب مشتق y بر حسب x محاسبه می شود.
مطالعه نمائید: مشتق رادیکالی با مثال و مشتق رادیکال های تو در تو
همانطور که در این مثال مشتق گیری ضمنی که تلاش شد به زبان ساده توضیحات ارائه شود مشخص است، نتیجه بدست آمده برای مشتق بر حسب x و y است. به روند ارائه شده در بالا دقت کنید و هر مثالی از مشتق گیری ضمنی را با این روش می توانید حل نمائید. فقط نکته ای که هست باید بر فرمول های مشتق گیری هم مسلط باشید. به عنوان جمع بندی برای حل مسائل مرتبط با مشتق گیری ضمنی روند زیر را در نظر داشته باشید:
1- از عبارت هایی که بر حسب x هستند مثل مشتق گیری ساده و با استفاده از فرمول های مشتق گیری نتیجه مشتق را بدست آورید.
2- برای عبارت هایی که بر حسب y هستند هم با همان روابط و فرمول هایی که بلد هستید مشتق را محاسبه نمائید و در هر عبارت dy/dx را هم ضرب کنید.
3- جمله به جمله پیش بروید و از هر جمله مشتق بگیرید.
4- عبارت هایی که شامل dy/dx نیستند را به سمت راست معادله برده و از عبارت های سمت راست dy/dx را فاکتور بگیرید.
5- طرفین معادله را بر ضریب dy/dx تقسیم نمائید.
6- جواب مشتق ضمنی به این ترتیب بدست می آید.
مطالعه نمائید: دانلود رایگان بهترین جزوه ها و مقالات آموزشی ریاضی مبحث مشتق و مشتق گیری
منبع: ایران مدرس (استفاده از مطالب با ذکر منبع و لینک به ایران مدرس مجاز است)
