در این بخش مثال هایی از روش حل انتگرال سه گانه با جواب و به زبان ساده ارائه شده است. اگر می خواهید انتگرال سه گانه را کاربردی و عالی یاد بگیرید ادامه این مقاله را بخوانید.
پیشنهاد ویژه سایت ایران مدرس: نمونه سوال و حل تمرین انتگرال سه گانه با جواب
محاسبه حجم با انتگرال سه گانه
در شکل زیر محاسبه حجم هرم با استفاده از انتگرال سه گانه ارائه شده است. از مثال زیر برای آموزش انتگرال سه گانه می توانید استفاده نمائید. اگر در این مباحث اشکال دارید از معلم های ریاضی کمک بگیرید. دقت کنید در حالتی که می خواهیم با استفاده از انتگرال سه گانه حجم شکلی را محاسبه نمائیم، تابع زیر انتگرال f(x,y,z) = 1 خواهد بود. در مثال زیر هم تابع زیر انتگرال همان 1 در نظر گرفته شده است. البته باید شکل مد نظر خودتان را رسم کنید و محدوده انتگرال گیری را درست بنویسید. مثال زیر را با دقت مورد بررسی قرار دهید و به نحوه نوشته شدن محدوده انتگرال گیری دقت نمائید.
محاسبه حجم با انتگرال سه گانه در مختصات کروی
در شکل زیر محاسبه حجم با انتگرال سه گانه در مختصات کروی ارائه شده است. در شکل زیر حجم یک کره را با استفاده از انتگرال 3 گانه محاسبه نموده ایم. دقت کنید که dv در مختصات کروی به چه شکلی نوشته شده است. در ضمن متغیر تتا در مختصات کروی از 0 تا 360 درجه تغییر می کند در حالیکه متغیر فی از 0 تا 180 درجه تغییرات دارد. منبع
در ادامه مثال های بیشتری از انتگرال سه گانه در این مقاله ارائه می شود. مثال های خوبی از انتگرال گیری سه گانه در مختصات های کروی و استوانه ای و در رابطه با نحوه محاسبه حجم با انتگرال گیری 3 گانه در ادامه قابل مشاهده است.
نحوه تغییر متغیر استوانه ای در انتگرال سه گانه
برای محاسبه بسیاری از انتگرال های سه گانه بهتر است از مختصات استوانه ای استفاده نمائید. هر گاه بخواهيم از تغيير متغير استوانه ای در انتگرال سه گانه استفاده کنيم فرم انتگرال به صورت زیر تغيير مي کند (منبع: دانشگاه علم و فناوری مازندران):
حل مثال از انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای
در شکل زیر مثالی از انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای ارائه شده است. با در نظر گرفتن توضیحات ارائه شده در بالا روند انجام محاسبات در شکل زیر واضح می باشد. سعی کنید مثال ها را خوب یاد بگیرید و در ادامه یک بار دیگر خودتان بدون نگاه کردن به جواب، مسئله را حل نمائید.
برای کسب اطلاعات بیشتر کلیک کنید: دانلود رایگان جزوه pdf بسیار عالی آموزش انتگرال سه گانه با مثال های متعدد و جواب تشریحی
نحوه استفاده از مختصات کروی در انتگرال سه گانه
در شرایطی که محدوده انتگرال گیری به گونه ای است که مثلا بخشی از مرزها کره یا بخشی از کره است بهتر است از مختصات کروی استفاده نمائیم. در مواردی استفاده از مختصات کروی محاسبه انتگرال را ساده تر می کند. هر گاه بخواهيم از تغيير متغير کروی برای محاسبه انتگرال سه گانه استفاده کنيم فرم انتگرال به صورت زیر تغيير می یابد:
حل مثال از انتگرال سه گانه در مختصات کروی
در شکل زیر مثالی از نحوه استفاده از مختصات کروی در انتگرال سه گانه مورد بررسی قرار گرفته است. در این مثال حجم داخل کره و مخروط محاسبه شده است.
برای اینکه بتوانید تسلط و توانایی خودتان را افزایش دهید، به عنوان تمرین بیشتر، مثال های زیر را در مختصات کروی حل نمائید.
کلیک کنید: مشاهده نمونه فیلم های تدریس و آموزش انتگرال
مثال دیگر از محاسبه حجم با انتگرال سه گانه
در شکل زیر مثال دیگری از محاسبه حجم با انتگرال سه گانه ارائه شده است. هدف محاسبه حجم زیر رویه نشان داده شده در شکل است. محدوده تغییرات x از 0 تا 2 و محدوده تغییرات y از 0 تا 1 است. به نحوه نوشتن محدوه انتگرال گیری دقت کنید. ابتدا انتگرال بر حسب Z محاسبه شده است و بعد سراغ متغیرهای y و x رفته ایم. اگر در این مباحث اشکال دارید اساتید و مدرسین تدریس خصوصی ریاضی عمومی 1 و 2 دانشگاه می توانند به شما کمک کنند.
منبع: ایران مدرس
