در این مقاله در رابطه با نحوه محاسبه و به خاطر سپردن و همچنین مهمترین روابط و فرمول های انتگرال توابع معکوس مثلثاتی توضیح داده می شود. توابع معکوس مثلثاتی شامل arcsin (x)، arccos (x)، arctan (x)، arccot (x)، arcsec (x) و arccs (x) است. اگر می خواهید در رابطه با انتگرال توابع معکوس مثلثاتی اطلاعات خوب و جامعی را بدست آورید ادامه این مطلب را بخوانید. در جدول زیر توابع معکوس مثلثاتی و دامنه و برد این توابع ارائه شده است.
برای کسب اطلاعات بیشتر در رابطه با توابع معکوس مثلثاتی بر روی این لینک کلیک کنید. در ادامه در رابطه با انتگرال توابع معکوس مثلثاتی توضیح داده می شود.
مطالعه کنید: انتگرال توابع مثلثاتی
1- فرمول ها و روابط انتگرال تابع معکوس مثلثاتی arcsin (x)
در شکل زیر فرمول ها و روابط انتگرال تابع معکوس مثلثاتی arcsin (x) ارائه شده است. روابط زیر احتمالا با روش جزء به جزء و یا تغییر متغیر قابل اثبات است. اگر در جستجوی اثبات روابط زیر هستید به کتاب های مرجع ریاضی دانشگاهی مراجعه نمائید. از روابط زیر فقط اولین رابطه را حفظ باشید کافی است و بقیه روابط قابل اثبات است. البته بد نیست سعی کنید روابط را اثبات نمائید چون به فهم بیشتر مطلب کمک می کند.
روابط که در تصویر بالا برای انتگرال تابع arcsin (x) ارائه شده است تعداد محدودی از روابط موجود و برای آشنایی ارائه شده است. البته تابع های معکوس مثلثاتی می توانند در ترکیب با چند جمله ای ها و توابع نمایی و لگاریتمی و ... زیر انتگرال قرار بگیرند و در امتحان مورد سوال باشد. در هر صورت مهمترین فرمول ها در تصویر بالا ارائه شده است. برای کسب اطلاعات بیشتر در این زمینه بر روی عبارت فهرست انتگرال توابع معکوس مثلثاتی کلیک کنید. مطالعه آموزش انتگرال تغییر متغیر های مثلثاتی به زبان ساده همراه با مثال تشریحی هم مفید است.
2- فرمول های انتگرال تابع معکوس مثلثاتی arccos (x)
برای تابع آرک کسینوس هم روابطی مشابه رابطه های بالا وجود دارد. به تصویر زیر دقت کنید. اولین رابطه تصویر زیر را با اولین رابطه عکس بالا مقایسه کنید متوجه می شوید که فقط در یک به اضافه و منها با هم فرق دارند. بنابراین اگر روابط مربوط به arcsin (x) را حفظ باشید با یک تغییر کوچک روابط مربوط به انتگرال arccos (x) را هم می توانید به خاطر بسپارید. نکته دیگر اینکه، در روابط زیر که مربوط به انتگرال تابع معکوس مثلثاتی آرک کسیونس هستند، فرمول های 1 تا 3 حالت خاصی از رابطه 4 هستند و اگر چهارمین رابطه را بلد باشید کافی است.
برای تابع arccos (x) هم فرمول ها و روابط بیشتری وجود دارد و در لینکی که در بالا معرفی شد می توانید روابط اضافه تر انتگرال گیری این تابع را ببینید. پیشنهاد می شود ویدیوی نمونه تدریس ریاضی - آموزش انتگرال توابع مثلثاتی و انتگرال cos را هم ببینید. اگر در مبحث انتگرال اشکال دارید می توانید از اساتید و مدرسین مجربی که در زمینه تدریس خصوصی ریاضی فعالیت دارند کمک بگیرید.
3- انتگرال تابع arctan (x) و arccot (x)
یکی دیگر از تابع های معکوس مهم تابع آرک تانژانت است. در تصویر زیر مهمترین انتگرال های مرتبط با آن ارائه شده است. از روابط زیر کافی است اولین رابطه را حفظ باشید و 3 رابطه و فرمول باقی مانده با روش جزء به جزء قابل اثبات است. برای کسب اطلاعات بیشتر در رابطه با روش جزء به جزء این ویدیو را ببینید: فیلم نمونه تدریس خصوصی ریاضی - آموزش نحوه استفاده از انتگرال جز به جز از طریق یک مثال تشریحی
برای تابع معکوس مثلثاتی arccot (x) هم روابط مشابهی وجود دارد که در پایین ارائه شده است. دقت کنید که روابط arccot (x) و arctan (x) مشابهت هایی با هم دارند. همانطور که روابط آرک سینوس و آرک کسینوس هم شبیه هم بودند. لازم نیست تمام این روابط را حفظ باشید و بسیاری از آنها قابل اثبات است.
حتما مطالعه کنید: مهمترین فرمول های انتگرال گیری معین و نامعین
4- فرمول های انتگرال تابع های معکوس سکانت و کسکانت arcsec (x) و arccs (x)
روابط انتگرال تابع آرک سکانت و آرک کسکانت در ادامه ارائه شده است. روابط مربوط به انتگرال این تابع ها هم شباهت هایی با هم دارند. به عنوان مثال اولین رابطه arcsec (x) با اولین رابطه arccsc (x) بسیار شبیه هم بوده و فقط در یک منها اختلاف دارد. در روابط زیر هم همینکه اولین انتگرال را حفظ باشید کافی است و بقیه روابط قابل اثبات می باشد.
مطالعه کنید: دانلود جزوه بسیار عالی فرمولها و روشهای انتگرال گیری
5- خلاصه مهمترین روابط و فرمول های انتگرال توابع معکوس مثلثاتی
در تصویر زیر مهمترین روابط مربوط به انتگرال گیری از تابع های وارون مثلثاتی ارائه شده است. روابط بالا هم مهم هستند اما در تصویر زیر می توانید مهمترین روابط را ببینید.
منبع: ایران مدرس
